मान लीजिए कि $f(x)$,$[0, 2]$ में लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है। यदि $f(0) = 0$ और सभी $x \in [0, 2]$ के लिए $|f'(x)| \leqslant \frac{1}{2}$ है,तो-

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक तीन बार अवकलनीय फलन है जैसे कि $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=-1, f(3)=2$ और $f(4)=-2$ है। तो,$(3 f^{\prime} f^{\prime \prime} + f f^{\prime \prime \prime})(x)$ के शून्यकों की न्यूनतम संख्या .................... है।

यदि $2a + 3b + 6c = 0$ और $a, b, c \in \mathbb{R}$ है,तो समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का $0$ और $1$ के बीच कम से कम एक मूल है।

मान लीजिए $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ इस प्रकार है कि $f(0)=0$ और सभी $x$ के लिए $|f^{\prime}(x)| \leq 5$ है। तो $f(1)$ किसमें स्थित है?

मान लीजिए $\psi_1:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,$\psi_2:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,$f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,और $g:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ ऐसे फलन हैं कि $f(0)=g(0)=0$,$\psi_1(x)=e^{-x}+x$ जहाँ $x \geq 0$,$\psi_2(x)=x^2-2x-2e^{-x}+2$ जहाँ $x \geq 0$,$f(x)=\int_{-x}^{x}(|t|-t^2)e^{-t^2} dt$ जहाँ $x>0$,और $g(x)=\int_0^{x^2} \sqrt{t} e^{-t} dt$ जहाँ $x>0$.
$(1)$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ (सत्य) है?
$(A)$ $f(\sqrt{\ln 3})+g(\sqrt{\ln 3})=\frac{1}{3}$
$(B)$ प्रत्येक $x>1$ के लिए,एक ऐसा $\alpha \in(1, x)$ मौजूद है कि $\psi_1(x)=1+\alpha x$
$(C)$ प्रत्येक $x>0$ के लिए,एक ऐसा $\beta \in(0, x)$ मौजूद है कि $\psi_2(x)=2x(\psi_1(\beta)-1)$
$(D)$ $f$ अंतराल $[0, \frac{3}{2}]$ पर एक वर्धमान फलन है
$(2)$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ (सत्य) है?
$(A)$ $\psi_1(x) \leq 1$,सभी $x>0$ के लिए
$(B)$ $\psi_2(x) \leq 0$,सभी $x>0$ के लिए
$(C)$ $f(x) \geq 1-e^{-x^2}-\frac{2}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5$,सभी $x \in(0, \frac{1}{2})$ के लिए
$(D)$ $g(x) \leq \frac{2}{3}x^3-\frac{2}{5}x^5+\frac{1}{7}x^7$,सभी $x \in(0, \frac{1}{2})$ के लिए

रोल का प्रमेय $[-1, 1]$ पर परिभाषित फलन $f(x) = |x|$ के लिए लागू नहीं होता है क्योंकि